Fractales

Fractales: Mandalas modernos

El término «fractal» fue introducido en 1964 por Benoït MandeIbrot, derivado del adjetivo latino fractus (interrumpido). Para poder adentrarse en este nuevo campo, el matemático francés de origen polaco separó la geometría fractal de las matemáticas tradicionales.
Mandelbrot creía que debía existir algún principio general en la naturaleza que explicara ciertas figuras geométricas anómalas muy recurrentes. Tras arduos años de estudio, en 1975 pudo esbozar una hipótesis en su obra Les objectes fractals.
¿QUÉ ES UN FRACTAL?
Un fractal es una figura geométrica con una estructura compleja que se repite a cualquier escala. Esto sucede porque los fractales son «autosemejantes», es decir, una sección de un fractal —por pequeña que sea— puede ser una réplica a menor escala de todo el fractal.
El ejemplo clásico que se suele citar es el llamado «copo de nieve», la curva que se obtiene a partir de un triángulo equilátero a cuyos lados se colocan sucesivos triángulos, cada vez más pequeños, operación que se repite hasta el infinito.
De este modo obtenernos una figura de superficie finita pero con un perímetro y un número de vértices infinito.
Existen muchas otras de estas figuras repetitivas, a medio camino entre la geometría aparentemente caótica de la naturaleza y la geometría tradicional
de Euclides.
LOS FRACTALES EN LA NATURALEZA
 Estudios posteriores han demostrado que en la naturaleza abundan los cuerpos que pueden representarse matemáticamente a través de los fractales, como la superficie rugosa de algunos materiales, las rocas porosas o las estructuras vítreas.
A menudo se utiliza el ejemplo del árbol para explicar los fractales. Cuando cortamos una rama y la plantamos en el suelo tenemos la impresión de estar ante un nuevo arbolito. Dicho de otro modo, la
rama reproduce —a una escala menor— la forma del árbol original. La relación entre la rama y el árbol, entre las partes y el todo es lo que se conoce como «dimensión fractal».
LA DIMENSIÓN FRACTAL
Por sus especiales características, al medir el tamaño de un fractal hablamos de dimensión fractal. Esto es: en lugar de determinar si un cuerpo tiene una, dos o tres dimensiones—como sucede con los cuerpos geométricos tradicionales—, los fractales deben manejarse matemáticamente como si tuvieran una dimensión fraccionaria.
Por ejemplo, la curva del «copo de nieve» tiene una dimensión fractal de 1,2618.
Lo más fascinante es que la dimensión fractal es independiente de la escala de observación.
La medición de los fractales ha obligado a introducir conceptos nuevos que superan los conceptos de la geometría clásica. Puesto que un fractal se compone de elementos cada vez más pequeños, el concepto de longitud no resulta operativo,ya que siempre habrá cuerpos más pequeños que escaparán a la medición, Además, a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento, aumenta la longitud de la línea o perímetro.
APLICACIONES
La enigmática belleza de los fractales ha hecho que sean un recurso constante en los gráficos generados por ordenador.
La geometría fractal, junto con la teoría del caos, han permitido comprender sistemas que antes se consideraban caóticos y aleatorios. Los fractales
permiten hacer aflorar patrones predecibles en procesos naturales como los fenómenos atmosféricos, las formaciones geológicas, las nubes o el mundo vegetal.



LA PROPORCIÓN AÚREA
El número Phi —no confundir con Pi— fue definido así por Euclides hace más de dos mil años por su papel crucial en la construcción del pentáculo, al que se atribuían propiedades mágicas. Al  trazar la estrella de cinco puntas, que simboliza la belleza y la perfección divina, las líneas se dividen en segmentos que se corresponden con la «divina proporción»: 1,6180339887 exactamente.
Esta cifra parece ordenar la naturaleza y el universo  con una frecuencia asombrosa, y la encontramos desde en el caparazón de los moluscos hasta en la forma de galaxias con millones de estrellas, pasando por cristales como el cuarzo.
Está presente también en construcciones tan antiguas como las pirámides de Egipto o el Partenón, donde fue utilizado para corregir un leve defecto de la visión humana y lograr una simetría más armoniosa.
También Leonardo da Vinci amaba la «divina proporción» —ejemplificada en su Hombre de Vitrubio, enmarcado en el pentáculo—, y se cree que llegó a exhumar cadáveres para demostrar que el cuerpo humano está formado de  bloques constructivos regidos por Phi.


 
En la época moderna, el también llamado «número áureo» ha sido utilizado por músicos  —está muy presente en la Quinta Sinfonía de Beethoven—, poetas y pintores, como Dalí en El Sacramento de la última cena.
Stradivarius lo utilizaba para ubicar con precisión las llamadas efes, u oídos, de sus célebres violines.


PHI EN LA NATURALEZA Y EL CUERPO HUMANO
A lo largo de los últimos dos milenios, numerosos científicos han buscado el 1, 618 en el mundo natural y en la anatomía humana con resultados sorprendentes. Recordemos algunos de ellos:
• En el caparazón de moluscos como el nautilo, la razón entre el diámetro de cada tramo de espiral y el siguiente es 1,618. Las pipas de girasol crecen en espirales opuestos que se rigen por esta misma cifra.
• Si contamos el número de espirales de una piña, veremos que siempre es un
múltiplo del número de oro, o lo que es lo mismo, un número de la serie de Fibonacci, que conoceremos enseguida.
• Las segmentaciones de la mayoría de insectos siguen la proporción áurea.
• En una persona bien proporcionada, la altura dividida por la distancia entre el ombligo y el suelo da Phi.
• Igual resultado se obtiene al medir la distancia entre el hombro y la punta de los dedos, dividido por la distancia entre el codo y la punta de los dedos.
• La distancia entre la cadera y el suelo dividida entre la existente entre la rodilla y el suelo da también 1,618. Puede efectuarse la misma operación con las articulaciones de las manos y pies o con las divisiones vertebrales.
• Incluso las tarjetas de crédito están diseñadas según la proporción áurea, porque de ese modo son más agradables a la vista.


¿UN CÓDIGO DIVINO?
Cuando en la antigüedad se descubrió la desconcertante presencia de Phi en la botánica, la biología, la física y las matemáticas, llegaron a pensar que habían dado
con la fórmula que Dios usó para crear el Universo. De alguna manera era la demostración de que bajo el aparente caos del mundo subyace un orden y una intención.
Pitágoras y sus seguidores estaban convencidos de que tras la proporción áurea estaba la mano de Dios, y por lo tanto merecía que se le rindiera culto.
Por su parte, el astrónomo Johannes Kepler consideraba Phi como uno de los tesoros más preciados de la geometría.
El matemático Leonardo Fibonacci, que vivió en Pisa en el siglo XIII, encontró
esta misma cifra en su célebre sucesión numérica. La secuencia es: 1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 84, 144, y así hasta el infinito, donde cada número sucesivo es la suma de los dos números anteriores. Comenzando la serie por 1, se obtiene:
0+1=1; 1+1=2; 1+2=3; 2+3 = 5; 3+5=8; 5+8= 13...
Lo más curioso de esta sucesión es que si dividimos dos números consecutivos entre sí, el resultado tiende a la proporción áurea; por ejemplo 5/3 = 1,666; 13/8=1,625; 233/144=1,618056; 377/233=1,618025. Cuanto más nos adentramos en la sucesión de Fibonacci, más cerca estaremos del número de oro. Esto quiere decir que si multiplicamos cualquier número de la serie por 1,618 obtendremos el siguiente, que es por tanto 1 , 6 l8 veces mayor. También hay relaciones maravillosas entre la suma de los números impares o de los cuadrados y además, los números de Fibonacci son primos entre sí. En resumen, cuanto más sabemos del universo, más omnipresente y enigmática se hace la influencia del número Phi, tal vez la prueba más patente de que —como afirmaba Einstein— «Dios no juega a los dados».